Dwieście dowodów matematycznych w dwóch krokach z rozwiązaniami

Opis

Szanowny Czytelniku!

Wielu uczniów i nauczycieli nie lubi zadań dowodowych i uważa je za trudne. Jednak wystarczy zauważyć, że twierdzenie jest po prostu stwierdzeniem faktu, a dowód jest wyjaśnieniem, dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe. Rozwiązując dowolne zadanie rachunkowe, wielokrotnie dowodzimy prawdziwość drobnych faktów, nawet tego nie zauważając. Dowód to każde uzasadnienie „dlaczego” coś jest prawdziwe. W tym zbiorze zajmiemy się takimi twierdzeniami, których dowody wymagają tylko dwóch kroków. Zazwyczaj jeden z tych kroków wykorzystuje podane założenia, drugi – posiadaną wiedzę matematyczną.

Wiele twierdzeń ma taką formę:

Twierdzenie 1. Jeśli zdanie A jest prawdziwe, to zdanie B też jest prawdziwe.

Dowód takiego twierdzenia (implikacji) to wyjaśnienie, dlaczego zdanie B musi być prawdziwe, jeśli zdanie A jest prawdziwe. Dowód wprost zaczyna się od założenia, że zdanie A jest prawdziwe (w końcu piszemy „jeśli A jest prawdziwe” – i to jest nasze założenie). Zresztą, jeśli zdanie A jest fałszywe, to nie mamy się czym martwić. A raczej – w takiej sytuacji – nie musimy nic robić, bo to nie ma znaczenia. A więc, przypuszczamy, że zdanie A jest prawdziwe i zapisujemy to w dowodzie jako pierwszy krok. To jest informacja, której możemy użyć w dalszych działaniach. Dalej postępujemy logicznie krok po kroku aż dojdziemy do stwierdzenia, że zdanie B jest prawdziwe.

Ważne jest, aby takie działania zapisywać w języku polskim. Są wprawdzie znaki matematyczne, którymi można zapisać część rozumowania, ale dla czytelności takiego zapisu nie należy moim zdaniem zastąpić całkowicie języka polskiego w zapisie. Zadania dowodowe zaczynające się słowami „wykaż, że istnieje…” wymagają pokazania liczby lub obiektu spełniającego warunki zadania. W pozostałych zadaniach dowodowych trzeba pokazać, że teza jest prawdziwa dla wszystkich liczb (obiektów) spełniających założenia.

Koniec rozumowania zapisujemy słowami „koniec dowodu” lub innym oznaczeniem (cbdu – co było do udowodnienia, cnd – czego należało dowieść, qed = quod erat demonstrandum lub znak końca dowodu ∎ nazywany czasem „halmosem”).

Wszystkie zadania przedstawione w tym zbiorze są zgodne z podstawą programową nauczania matematyki w szkołach ponadpodstawowych, a nieliczne zadania przeznaczone dla profilu rozszerzonego – zostały oznaczone literami PR.

Autorka